USING FUZZY VARIABLES TO CONSTRUCT  CONTROL CHARTS USED IN QUALITY CONTROL

Nguyen Nhu Phong

University of Technology – VNU-HCM

ABSTRACT:

This paper studies an approach to use fuzzy theory to construct control charts, which is a very important on-line process control tool, used in Quality control. The contstruction of control chart is based on linguistic data. The status of quality characteristic is modelled by triangle fuzzy number. Fuzzy arithmetic is used to calculate the center line of the control chart. The control limits of the control chart are constructed by the model of  Shewhart Control Chart and the standart deviation of fuzzy variable which is calculated by a model developed by Kauffman & Gupta.

Keywords: Linguistic data, triangle fuzzy number, fuzzy arithmetic, fuzzy variable, quality control, quality characteristic, on-line process control, Shewhart Control Chart, center line , control limits,.

1.                  GI?I THI?U

Ki?m sóat ch?t l??ng nh?m b?o ??m các ??c tính ch?t l??ng c?a s?n ph?m ? m?c danh ??nh hay mong mu?n. Các công c? ki?m sóat ch?t l??ng bao g?m ki?m soát quá trình, l?y m?u ki?m ??nh, thi?t k? th?c nghi?m. Ki?m ?? m?t công c? quan tr?ng ki?m soát tr?c tuy?n quá trình bao g?m Ki?m ?? bi?n s? và Ki?m ?? thu?c tính. Ki?m ?? bi?n s? ki?m sóat ??c tính ch?t l??ng d??i d?ng ?o s? h?c. Ki?m ?? thu?c tính ki?m sóat ??c tính ch?t l??ng không th? bi?u ??t d??i d?ng m?t ??i l??ng s? h?c. Nhìn chung, ki?m ?? thu?c tính ??n gi?n nh?ng không nh?y b?ng ki?m ?? bi?n s? trong phát hi?n d?ch chuy?n quá trình.

Ki?m ?? thu?c tính d?a trên d? li?u thu?c tính quan sát t? quá trình v?i ch?t l??ng s?n ph?m ch? có hai tr?ng thái t?t ?? ch?p nh?n ho?c x?u ?? bác b?, ?i?u này có th? không th? hi?n ?úng th?c t? tr?ng thái ch?t l??ng s?n ph?m. Khi ch?t l??ng s?n ph?m thay ??i liên t?c, các giá tr? trung gian nh? hoàn h?o, t?t, khá, trung bình, h?i x?u, x?u là thích h?p trong mô t? m?c ch?t l??ng s?n ph?m h?n. Trong tr??ng h?p này, ch?t l??ng s?n ph?m ???c ?ánh giá theo nhi?u thang b?c mô t? b?i bi?n ngôn ng? và ki?m ?? s? d?ng ???c g?i là ki?m ?? bi?n ngôn ng?.

Chi phí ch?t l??ng bi?u th? s? t?n kém do không phù h?p yêu c?u c?a s?n ph?m bao g?m chi phí h? h?ng, chi phí th?m ??nh và chi phí ng?n ng?a. Ki?m ?? bi?n ngôn ng? gi?m chi phí ch?t l??ng qua vi?c gi?m chi phí th?m ??nh và chi phí h? h?ng. Ki?m ?? bi?n ngôn ng? nhìn chung ??n gi?n h?n ki?m ?? bi?n s? vì không c?n dùng thi?t b? ?o giá tr? ??c tính ch?t l??ng mà ch? ?ánh giá m?c ch?t l??ng qua chuyên gia, t? ?ó gi?m chi phí th?m ??nh. M?t khác, ki?m ?? bi?n ngôn ng? chia tr?ng thái ch?t l??ng s?n ph?m thành nhi?u m?c, không ch? 2 m?c nh? ? ki?m ?? thu?c tính nên nh?y h?n ki?m ?? thu?c tính trong phát hi?n d?ch chuy?n quá trình, t? ?ó làm gi?m chi phí h? h?ng.

M?t khác, vi?c ki?m soát quá trình có th? không ?úng do y?u t? ch? quan c?a ng??i tr?c ti?p ki?m tra khi gán tr?ng thái ch?t l??ng không ?úng b?n ch?t th?c t? c?a nó. Williams & Zigli (1987) ?? ngh? vi?c tích h?p s? không chính xác c?a phán xét ch? quan c?a con ng??i trong các công c? ??m b?o ch?t l??ng. Tính m? h?, không rõ ràng, không chính xác b?m sinh trong các ?ánh giá ngôn ng? có th? ???c x? lý toán h?c b?i lý thuy?t t?p m? gi?i thi?u b?i Zadeh (1965). N?m 1983, Bradsaw l?p lu?n r?ng ph??ng pháp xây d?ng gi?i h?n ki?m soát d?a trên lý thuy?t t?p m? là th?c t? h?n trong vi?c ki?m soát quá trình. N?m 1986, Kawowski & Evans ?? ngh? vi?c s? d?ng bi?n ngôn ng? trong vi?c l??ng hóa tr?ng thái c?a ??c tính ch?t l??ng và dùng s? m? cho vi?c xây d?ng các gi?i h?n ki?m soát. N?m 1990, Wang & Raz b?t ??u xây d?ng ki?m ?? d?a trên d? ki?n ngôn ng?.

Mô hình ki?m ?? Wang & Raz ch?a l?p lu?n và ch?a ??a ra ph??ng pháp tính c? th? ?? xây d?ng ki?m ??. Bài báo này d?a vào bi?n m? và mô hình ki?m ?? Shewhart ?? l?p lu?n xây d?ng ki?m ??. Bài báo c?ng s? d?ng s? h?c m? ?? ra m?t ph??ng pháp tính v?i m?c ?ích tính tóan xây d?ng ki?m ?? bi?n ngôn ng? nh?m ki?m soát quá trình ??n gi?n và hi?u qu?.

2.                  Mô hình ki?m ?? Shewhart

Ki?m ?? là ?? th? quan h? gi?a ??c tính ch?t l??ng ?o t? m?u và th?i gian th? hi?n qua s? m?u. Trên ki?m ?? có ???ng tâm CL và các gi?i h?n ki?m soát. ???ng tâm là tr? trung bình c?a ??c tính ch?t l??ng khi quá trình trong ki?m soát. Gi?i h?n ki?m soát bao g?m gi?i h?n ki?m soát trên UCL và gi?i h?n ki?m soát d??i LCL. Khi m?u n?m trong gi?i h?n ki?m soát, quá trình ???c xem là trong ki?m soát. Khi m?u n?m ngoài gi?i h?n ki?m soát, quá trình b? xem là ngoài ki?m soát, c?n ???c kh?o sát và hi?u ch?nh, lo?i b? các nguyên nhân gây bi?n thiên quá trình.

G?i W là hàm th?ng kê cho ??c tính ch?t l??ng quan tâm, gi? s? W có k? v?ng m_w, ?? l?ch chu?n s_w, theo mô hình ki?m ?? Shewhart, ???ng tâm và các gi?i h?n ki?m soát ???c tính nh? sau:

            UCL    = m_w + Ls_w

            CL       = m_w

            LCL    = m_w - Ls_w

V?i L là kho?ng cách t??ng ??i gi?a ???ng tâm và các gi?i h?n, th??ng ???c xác ??nh b?i xác su?t sai l?m lo?i b? quá trình trong ki?m sóat a c?a ki?m ?? khi bi?t phân b? ??c tính ch?t l??ng.

3.                  S? m? tam giác

S? m? là t?p m? xác ??nh trên t?p s? th?c. Didier Dubois và Henry Prade xây d?ng s? m? ph?ng. T? s? m? ph?ng, P.J. Macvicar – Whelan xây d?ng s? m? hình thang v?i 4 tham s?. M?t tr??ng h?p ??c bi?t c?a s? m? hình thang là s? m? tam giác. M?t s? m? tam giác A v?i 3 tham s? a, b, c th??ng ???c ký hi?u A(a, b , c) v?i hàm thành viên có d?ng sau:

N?u A và B là 2 s? m? tam giác và c là m?t s? th?c d??ng: A = (a₁, a₂ , a₃ ), B = (b₁, b₂ , b₃ ), cÎ R⁺. Thì A+B c?ng là m?t s? m? tam giác ??nh b?i :

            A+B =  ( a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃ )

Và cA c?ng là m?t s? m? tam giác ??nh b?i :

            cA =  ( ca₁, ca₂, ca₃ )

4.                  Bi?n m?

T??ng t? v?i bi?n ng?u nhiên trong lý thuy?t xác su?t. Trong lý thuy?t kh? n?ng, bi?n m? l?y tr? là các s? m?, phân b? kh? n?ng là phân b? c?a m?t bi?n m?. Theo quan h? gi?a lý thuy?t t?p m? và lý thuy?t kh? n?ng, phân b? p c?a m?t bi?n m?, ???c xác ??nh theo hàm thành thành viên m c?a s? m? t??ng ?ng.

K? v?ng c?a m?t bi?n m? bi?u th? khuynh h??ng c?a bi?n. Xem m?t bi?n m? V trên t?p X v?i phân b? kh? n?ng p. Nh?m xác ??nh k? v?ng m? m c?a V, có th? s? d?ng m?t trong các ph??ng pháp nh? ?i?m c?c ??i, trung bình kho?ng c?c ??i, ?i?m trung v?, ?i?m tr?ng tâm. Ph??ng pháp ?i?m c?c ??i xác ??nh ?i?m k? v?ng là ?i?m có tr? hàm phân b? c?c ??i là 1:

V?i bi?n m? tam giác V(a, b, c) . K? v?ng m? có th? xác ??nh theo ph??ng pháp ?i?m c?c ??i:

m = a

?? l?ch chu?n c?a bi?n m? bi?u th? m?c ?? phân tán c?a bi?n. ?? l?ch chu?n bi?n m? xác ??nh b?i Kaufman & Gupta (1985):

Nh?n xét r?ng ?? l?ch chu?n c?a bi?n m? là vùng di?n tích bao b?i ???ng cong phân b?. V?i bi?n m? tam giác V(a, b, c), ?? l?ch chu?n m? tính ???c :

s = (b+c)/2

5.                  Bi?n ngôn ng?

Bi?n ngôn ng? là bi?n l?y tr? là nh?ng tr? ngôn ng?. M?t bi?n ngôn ng? V ???c ??c tr?ng b?i t?p tr? ngôn ng? T.

T = {L_i , i = 1¸t}

Trong ?ó t là s? tr? ngôn ng? trong t?p tr? ngôn ng? T. Các tr? ngôn ng? L_i ???c mô hình b?i các s? m? trên m?t t?p c? s? X. Trong ki?m soát ch?t l??ng, ?? mô t? tr?ng thái hay m?c ch?t l??ng s?n ph?m ta có th? dùng các tr? ngôn ng? nh? t?t – T , khá – K, trung bình – B, h?i x?u – H, x?u – X.

T = {T, K, B, H, X}

Bi?n c? s? ? ?ây là m?c ch?t l??ng s?n ph?m, nh?m thu?n ti?n ta chu?n hoá t?p c? s? X là t?p kho?ng ??n v? [0,1] theo ngh?a 0 là m?c ch?t l??ng th?p nh?t, 1 là m?c ch?t l??ng cao nh?t. Các m?c ch?t l??ng ? t?p T nêu trên là nh?ng s? m? trên X, có nhi?u ph??ng pháp ?? xây d?ng hàm thành viên, ? ?ây ta dùng là dùng s? m? tam giác:

X = ( 0 ; 0 ; 0,25 ),

H = ( 0,25 ; 0,25 ; 0,25 ),

B = ( 0,5 ; 0,25 ; 0,25 ),

K = ( 0,75 ; 0,25 ; 0,25 ),

T = ( 1 ; 0,25 ; 0 )

6.                  M?u thu th?p theo bi?n ngôn ng?

Khi m?t bi?n ngôn ng? ???c s? d?ng ta c?n trình bày các t?p m? t??ng ?ng v?i tr?ng thái bi?n ngôn ng? ?ó và k?t h?p v?i s? l??ng quan sát xu?t hi?n t??ng ?ng các tr?ng thái bi?n ngôn ng? trong m?t m?u. Khi phân tích ta th??ng thu th?p m m?u v?i c? m?u là n. M?t m?u S_j v?i n quan sát có th? ???c di?n t? nh? sau:

S_j = {(L_i, k_ij)½i=1¸t}, j=1¸m

V?i k_ij  s? l??ng quan sát v?i tr? ngôn ng? L_i trong m?u S_j, th?a ??ng th?c :

k_1j + k_2j + … + k_{t j} = n , j=1¸m

7.                  Mô hình ki?m ?? bi?n ngôn ng?

?? xây d?ng ki?m ?? bi?n ngôn ng?, ta c?n:

-         Xây d?ng các gi?i h?n ki?m soát LCL, ULL

-         Xác ??nh ?i?m m?u trên ki?m ??

T? t?p s? li?u v?i m m?u có c? m?u n, mô hình g?m các b??c sau:

B??c 1: Xây d?ng bi?n m? trung bình m?u`X_j

`X_j  = (L₁k_1j + L₂k_2j + … + L_tk_tj) / n , j=1¸m

T?p m? tr?ng thái là các s? m? tam giác:

L_i = ( a_i , b_i , c_i )

Theo tính ch?t c?a s? m? tam giác, trung bình m?u `X_j c?ng là m?t s? m? tam giác:

`X_j = ( A_j , B_j , C_j )

A_j  = (a₁k_1j + a₂k_2j + … + a_tk_tj) / n

B_j  = (b₁k_1j + b₂k_2j + … + b_tk_tj) / n

C_j  = (c₁k_1j + c₂k_2j + … + c_tk_tj) / n

B??c 2: Xác ??nh bi?n m? trung bình trung bình m?u

Trung bình m?u là các bi?n m? tam giác, `X_j = ( A_j , B_j , C_j ). Theo tính ch?t c?a s? m? tam giác, trung bình trung bình m?u c?ng là m?t s? m? tam giác:

`

B??c  3: Xác ??nh ???ng tâm ki?m ?? CL

???ng tâm ki?m ?? CL là k? v?ng bi?n m? trung bình trung bình m?u. V?i bi?n m? tam giác, , ta xác ??nh ???c ???ng tâm :

B??c  4: Xác ??nh ?? l?ch chu?n c?a bi?n m? trung bình trung bình m?u

D?a vào mô hình Kauffman & Gupta, bi?t r?ng trung bình trung bình m?u  là m?t bi?n m? tam giác,  ta suy ???c ?? l?ch chu?n bi?n m? này nh? sau:

B??c 5: Xác ??nh gi?i h?n ki?m sóat ki?m ??

D?a vào nguyên lý ki?m ?? Shewhart, các gi?i h?n ki?m sóat c?a ki?m ?? ???c xác ??nh nh? sau:

Hay:

V?i L là kho?ng cách t??ng ??i gi?a ???ng tâm và gi?i h?n ki?m soát.        

B??c 6: Xác ??nh ?i?m m?u trên ki?m ?? X_j

?i?m m?u trên ki?m ?? có tr? là k? v?ng trung bình m?u`X<sub>j</sub> . Vì `X_j là m?t bi?n m? tam giác `X_j = ( A_j , B_j , C_j ):

8.                  M?T VÍ D?

Nh?m minh h?a ph??ng pháp, ta dùng s? li?u v?i 30 m?u, m?i m?u 10 s?n ph?m. Tr?ng thái m?u nh? ? b?ng sau

Ch?n kh?ang cách gi?i h?n L = 0,7. Áp d?ng ph??ng pháp, ta tính ???c ???ng tâm và các gi?i h?n nh? sau:

            CL=0,385 ;

LCL = 0,216 ;

UCL = 0,584

M?c ch?t l??ng trung bình c?a 30 m?u là 0,385. Bi?u ?? ki?m sóat ???c v? nh? ? hình sau. Th?y r?ng h?u h?t các m?u ??u trong ki?m sóat, m?u 21 n?m ngòai ki?m sóat và c?n ???c kh?o sát ?? tìm nguyên nhân. Nhìn vào m?u này ta th?y trong 10 s?n ph?m l?y m?u có ??n 4 s?n ph?m x?u (X), 4 s?n ph?m h?i x?u (H), 2 s?n ph?m trung bình (B) và không có s?n ph?m khá t?t (K) c?ng nh? t?t nào (T). M?c ch?t l??ng tính ???c c?a m?u này là 0,2 th?p h?n gi?i h?n d??i LCL = 0,216.

9.                  K?T LU?N

Bài báo ?? ra m?t ph??ng pháp xây d?ng ki?m ?? bi?n ngôn ng? là l?ai ki?m ?? có nhi?u ?u ?i?m h?n các ki?m ?? truy?n th?ng giúp gi?m chi phí ch?t l??ng trong bài tóan ki?m sóat ch?t l??ng. V?i vi?c vi?c mô hình hóa ??c tính ch?t l??ng b?i bi?n m? tam giác và s? d?ng các phép tính s? h?c m?, ph??ng pháp có ?u ?i?m là tính tóan ??n gi?n. Tuy nhiên bài báo còn có m?t s? gi?i h?n nh? vi?c xác ??nh tham s? L, ?? nh?y ki?m ??. Các gi?i h?n này m? ra m?t h??ng nghiên c?u là ?ánh giá ?? nh?y ki?m ?? bi?n ngôn ng?.

TÀI LI?U THAM KH?O

1. DOUGLAS C. MONTGOMERY – Introduction to Statistical Quality Control 3rd
2. GEOGE J. KLIR AND BO YUAN – Fuzzy Sets And Fuzzy Logic – Theory And Applications
3. NGUY?N NH? PHONG. Ki?m soát ch?t l??ng m?. NXB Khoa h?c K? thu?t.
4. TIMOTHY J. ROSS – Fuzzy Logic With Engineering Applications
5. GERALD W. EVANS, WALDERMAR KAWOWSKI, MICKEY R. WILHELM  - Applications of Fuzzy Set Methodologies in Industrial Engineering.
6. DIDIER DUBOIS, HENRY PRADE. – Possibility Theory – An approach to computerized processing of uncertaity.
7. NGUY?N NH? PHONG. Lý thuy?t m? và ?ng d?ng. NXB Khoa h?c K? thu?t.
8. JYH-HONE WANG and TZVI RAZ. On the construction of Control Charts using linguistic variables – 1990.
9. TZVI RAZ and JYH-HONE WANG. Probabilistic & member in the construction of Control Charts for using linguistic variables – 1990.
10. KANAGAWA, F. TAMAKI and H. OHTA. Control charts for process average and variability based on linguistic data-1993
11. NGUY?N NH? PHONG. M?t ph??ng pháp xây d?ng và ?ánh gía ki?m ?? bi?n ngôn ng?. H?i th?o Khoa h?c H? M?, M?NG N? RON VÀ ?NG D?NG l?n th? nh?t ngày 8-9 /11/2006. Vi?n Toán h?c.
12. JORG HOPPNER & HANS WOLFF. The design of a Fuzzy – Shewhart Control Chart – 1995
13. FIORENZO FRANCESCHINI* and DANIELE ROMANO. Control chart for linguistic variables: a method based on the use of linguistic quantifiers – 1999
14. HIS-MEI HSU & YAN-KWANG CHEN. A fuzzy reasoning based diagnosis system for`XCC - 2001.
15. HASSEN TALEB & MOHAMED LIMAM. On fuzzy and probabilistic control charts – 2002
16. MURAT GULBAY, CENGIZ KAHRAMAN, DA RUAN. a-cut fuzzy control charts for linguistic data – 2004.
17. CHI-BIN CHENG. Fuzzy process control: Construction of control charts with fuzzy number – 2005.