LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG

LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG

Nguyễn Như Phong

Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp

Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM

Lý thuyết khả năng là một nhánh của lý thuyết bằng chứng khi các tập con mang bằng chứng của khung bằng chứng lồng vào nhau gọi là các tập bằng chứng lồng ghép , các độ đo mờ của lý thuyết bằng chứng hay các độ đo bằng chứng là mức tin Bl và mức khả tín Pl lần lượt trở thành các độ đo mờ tương ứng của lý thuyết khả năng hay các độ đo khả năng là mức nhất thiết Nec và mức khả năng Pos.

ĐỘ ĐO KHẢ NĂNG

Một tính chất của các độ đo mờ của lý thuyết bằng chứng thể hiện ở bất đẳng thức cơ bản :

Bl(AÇB) £ min [g(A), g(B)]

Pl(AÈB) ³ max [g(A), g(B)]

Khi các tập con mang chứng cứ của khung chứng cứ lồng vào nhau, các độ đo mờ tương ứng của lý thuyết bằng chứng, mức tin Bl và mức khả tín Pl có tính chất sau:

A, B Î Ã(X) : Bl(AÇB) = min [Bl(A) , Bl(B)]

Pl(AÈB) = max [Pl(A) , Pl(B)]

Trong trường hợp này, lý thuyết bằng chứng trở thành lý thuyết khả năng, các độ đo bằng chứng lần lượt trở thành các độ đo khả năng là mức nhất thiết Nec và mức khả năng Pos. Các phương trình cơ bản của lý thuyết khả năng:

A, B Î Ã(X) : Nec(AÇB) = min [Bl(A) , Bl(B)]

Pos(AÈB) = max [Pl(A) , Pl(B)]

Mức nhất thiết Nec

Mức nhất thiết Nec, là một lớp hàm của mức tin Bl, được định nghĩa như sau. Xem một tập tổng X với một họ các tập con z của X, một độ đo mờ Nec trên được xem là mức nhất thiết nếu và chỉ nếu với số nguyên K bất kỳ :

Với mọi họ {A_k, kÎK} trong z sao cho

Mức khả năng Pos

Mức khả năng Pos, là một lớp hàm của mức khả tín Pl, được định nghĩa như sau. Xem một tập tổng X với một họ các tập con z của X, một độ đo mờ Pos trên được xem là mức khả năng nếu và chỉ nếu với số nguyên K bất kỳ :

Với mọi họ {A_k, kÎK} trong z sao cho

Tính chất của dộ đo khả năng

Mức nhất thiết Nec và mức khả năng Pos lần lượt là lớp hàm của mức tin Bl và mức khả tín Pl nên thừa kế các tính chất của Bl và Pl, các tính chất này.

Tính chất	Mức nhất thiết – Nec	Mức khả năng – Pos
Biên	Nec(Æ) = 0 , Nec(X) = 1	Pos(Æ) = 0 , Pos(X) = 1
Đối ngẫu	Nec(A) = 1- Pos(`A)	Pos(A) = 1-Nec(`A)
Quá cộng	Nec(AÈB) ³ Nec(A) + Nec(B) – Nec(AÇB)
Thấp cộng	Pos(AÇB) £ Pos(A) + Pos(B) - Pos(AÈB)
Đơn điệu	AÍB Þ Nec(A) £ Nec(B)	AÍB Þ Pos(A) £ Pos(B)
Khả năng	Pos(A) ³ Nec(A)
BĐT Cơ bản	Nec(AÈB)³Max[Nec(A),Nec(B)]	Pos(AÇB)£Min[Pos(A),Pos(B)]
PT Cơ bản	Nec(AÇB)=Min[Nec(A),Nec(B)]	Pos(AÈB)=Max[Pos(A),Pos(B)]
A &`A	Nec(A) + Nec(`A) £ 1	Pos(A) + Pos(`A) ³1
	Min[Nec(A), Nec(`A)]= 0	Max[Pos(A),Pos(`A)]= 1
	Nec(A)>0ÞPos(A)=1	Pos(A)<1ÞNec(A)=0

Mức thừa nhận

Lý thuyết khả năng dựa trên 2 độ đo đối ngẫu là mức nhất thiết Nec và mức khả năng Pos, nhằm tích hợp các độ đo này thành một độ đo duy nhất, ta xây dựng mức thừa nhận P(A) theo Nec(A) và Pos(A) như sau :

AÎÃ(X) : P(A) = [Nec(A) + Pos(A)]/2

Hay là :

P(A) = [1 + Pos(A) - Pos(`A)] / 2

Thấy rằng P(A) lấy trị trên khoảng [0,1]. Có thể xác định Nec(A) và Pos(A) từ P(A) :

Nhận xét rằng P(A) biễu thị mức thừa nhận sự kiện A bởi các bằng chứng có được:

Khi P(A) £ ½ , Nec(A)=0, Pos(A) = 2P(A).
Khi P(A) > ½ , Pos(A)=1, Nec(A) = 2P(A) -1.

PHÂN BỐ KHẢ NĂNG

Xem một độ đo khả năng Pos trên tập Ã(X), gọi hàm

p : X à [0,1]

sao cho :

p(x) = Pos ({x}) , với mọi xÎX

Hàm p được gọi là hàm phân bố khả năng tương ứng với độ đo khả năng Pos. Tương tự hàm p là hàm phân bố xác suất tương ứng với độ đo xác suất Pro ở phần lý thuyết xác suất. Một tính chất quan trọng của lý thuyết khả năng là mỗi độ đo khả năng được biễu diễn một cách duy nhất bởi phân bố khả năng liên kết tương ứng. Với X hữu hạn, mỗi mức khả năng Pos trên tập Ã(X) được xác định bởi phân bố khả năng r như sau:

Nếu tập X vô hạn, ta có công thức tổng quát :

TLTK

Nguyễn Như Phong. Vận trù mờ. NXBĐHQG. 2010.