OR Fuzzy Operations Research LÝ THUYẾT BẰNG CHỨNG
| LÝ THUYẾT BẰNG CHỨNG |
|
LÝ THUYẾT BẰNG CHỨNG Nguyễn Như Phong Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM
Lý thuyết bằng chứng là một lý thuyết độ đo mờ dùng đồng thời 2 độ đo mờ đối ngẫu là hai độ đo bằng chứng là mức tin và mức khả tín
Mức tin Bl là mức độ tin tưởng một phần tử của tập X thuộc về một tập hợp hay mức độ tin tưởng về sự xuất hiện của một sự kiện. Xem một tập tổng X, mức tin Bl là một hàm hay ánh xạ từ tập Ã(X) lên tập [0,1]: Bl : Ã(X)à [0, 1] Mức tin thỏa các sau yêu cầu sau:
Bl (Æ) = 0 Bl (X) = 1
Với A Î Ã(X), Bl(A) biễu thị mức tin rằng một phần tử đã cho của X thuộc tập A, Bl(A) không chỉ dựa vào các bằng cứ phần tử thuộc A mà còn dựa vào tất cả các bằng cứ phần tử thuộc các tập con của tập A.
Khi các tập từng cặp không giao nhau : Ai ÇAj = Æ , i¹j Biễu thức quá cộng tính trở thành :
Ta thấy với độ đo xác suất Pro trong lý thuyết xác suất khi các tập từng cặp không giao nhau : Ai ÇAj = Æ , i¹j thì :
Vậy độ đo xác suất Pro trong lý thuyết xác suất là một trường hợp đặc biệt của mức tin, ứng với khi dấu bằng xảy ra ở biễu thức (*) trên.
Với n=2 tính quá cộng viết thành : A,B Î P(X) Þ Bl(AÈB) ³ Bl(A) + Bl(B) – Bl(AÇB) Từ tính quá cộng của hàm mức tin ta cũng suy được tính đơn điệu của hàm mức tin như tính chất của một độ đo mờ : A, B Î P(X), AÍB Þ Bl(A) £ Bl(B) Tính chất này có thể chứng minh như sau. Xem AÍB, gọi C = B-A thì có B = AÈC và AÇC = Æ Þ Bl(B) = Bl(AÈC) ³ Bl(A) + Bl(C) - Bl(AÇC) Þ Bl(B) ³ Bl(A) + Bl(C) - Bl(Æ) Þ Bl(B) ³ Bl(A) + Bl(C) Þ Bl(B) ³ Bl(A) Từ tính quá cộng có thể suy ra một tính chất cơ bản của mức tin là : A Í P(X) Þ Bl(A) + Bl(`A) £ 1 Tính chất này có thể chứng minh như sau: A È`A = X Þ 1= Bl(X) = Bl(A È`A) ³ Bl(A) + Bl(`A) - Bl(AÇ`A) Þ 1 ³ Bl(A) + Bl(`A) - Bl(Æ) Þ Bl(A) + Bl(`A) £ 1 Từ tính đơn điệu ta suy ra bất đẳng thức cơ bản của một độ đo mờ : Bl(AÇB) £ Min [Bl(A), Bl(B)] Bl(AÈB) ³ Max [Bl(A), Bl(B)] Tính chất này có thể chứng minh như sau: AÇB Í A Í AÈB Þ Bl(AÇB) £ Bl(A) £ Bl(AÈB) AÇB Í B Í AÈB Þ Bl(AÇB) £ Bl(B) £ Bl(AÈB) Þ Bl(AÇB) £ Min [Bl(A), Bl(B)] Bl(AÈB) ³ Max [Bl(A), Bl(B)]
Mức khả tín Pl của một tập A ÎP(X), Pl(A) không chỉ dựa vào các bằng chứng phần tử thuộc tập A hay các tập con của tập A như ở mức tin, mà còn dựa vào tất cả các bằng chứng phần tử thuộc các tập có giao với tập A. Mức khả tín được định nghĩa như sau. Xem một tập tổng X, mức khả tín Pl là một hàm hay ánh xạ từ tập P(X) lên [0,1]: Pl : P(X)à [0, 1] Hàm khả tín thỏa các sau yêu cầu sau:
Pl (Æ) = 0 , Pl (X) = 1
Mức khả tín và mức tin là 2 hàm đối ngẫu, liên kết với mỗi mức tin Bl là một mức khả tín và ngược lại: Pl(A) = 1-Bl(`A), AÎ P(X) Bl(A) = 1-Pl(`A), AÎ P(X), Với n=2 tính thấp cộng viết thành : A,B Î P(X) Þ Pl(AÇB) £ Pl(A) + Pl(B) – Pl(AÈB) Từ tính thấp cộng của mức khả tín ta cũng suy được tính đơn điệu của một độ đo mờ. A, B Î P(X), AÍB Þ Bl(A) £ Bl(B) AÍB Þ `B Í`A Þ Bl(`B) £ Bl(`A) Þ Pl(A) = 1- Bl(`A) £ 1- Bl(`B) = Pl(B) Từ tính thấp cộng có thể suy ra một tính chất của mức khả tín là : A Î P(X) Þ Pl(A) + Pl(`A) ³ 1 Tính chất này được chứng minh như sau : AÎ P(X) Þ AÇ`A = Æ, AÈ`A = X Þ Pl(AÇ`A) £ Pl(A) + Pl(`A) – Pl(AÈ`A) Þ Pl(Æ) £ Pl(A) + Pl(`A) – Pl(X) Þ 0 £ Pl(A) + Pl(`A) – 1 Þ Pl(A) + Pl(`A) ³ 1 Hay chứng minh theo tính chất của hàm mức tin : A Î P(X) Þ Bl(A) + Bl(`A) £ 1 Þ [1-Pl(`A)] + [1-Pl(A)] £ 1 Þ Pl(A) + Pl(`A) ³ 1 Từ tính chất trên ta có thể suy ra quan hệ giữ giữa mức tin và mức khả tín : Pl(A) ³ Bl(A) Tính chất này được chứng minh như sau : Pl(A) + Pl(`A) ³ 1 Þ Pl(A) ³ 1- Pl(`A) = Bl(A) Hay dựa vào tính chất hàm Bllà : Bl(A) + Bl(`A) £ 1 Þ Pl(A) = 1- Bl(`A) ³ Bl(A) Từ tính đơn điệu ta có thể suy ra bất đẳng thức cơ bản : Pl(AÇB) £ Min [Pl(A), Pl(B)] Pl(AÈB) ³ Max [Pl(A), Pl(B)]
Tóm lại các độ đo bằng chứng có các tính chất sau như ở bảng sau
Mức bằng chứng là một hàm gán cơ bản dùng để tính các độ đo mức tin và mức khả tín một cách thuận tiện. Mức bằng chứng m là hàm hay ánh xạ từ tập P(X) lên tập [0,1]: m: P(X) à [0,1] Hàm gán bằng chứng thỏa các điều kiện: m(Æ) =0
Với mỗi tập A Î P(X), giá trị m(A) biễu thị mọi bằng chứng một phần tử của X thuộc chỉ tập A, không tính các bằng chứng mà phần tử thuộc các tập con của tập A. Lưu ý rằng hàm bằng chứng cơ bản không phải là một độ đo mờ và có các đặc tính sau:
Với hàm bằng chứng cơ bản m, các độ đo mờ mức tin và mức khả tín có thể được xác định qua các biễu thức sau:
Quan hệ của mức tín và mức khả tín một lần nữa được chứng minh :
Mọi tập A Î P(X) với m(A) > 0 được gọi là phần tử tập trung bằng chứng hay tập bằng chứng của hàm tập m. Tập bằng chứng là các tập con của tập tổng X ở đó tập trung các bằng chứng. Khi tập tổng X hữu hạn, hàm m hoàn toàn đặc trưng bởi tập các tập bằng chứng và các giá trị mức bằng chứng tương ứng. Tập các tập bằng chứng F cùng với các giá trị mức bằng chứng tương ứng tạo thành khung bằng chứng được ký hiệu là . Dựa vào đặc tính khung bằng chứng có thể chia lý thuyết bằng chứng theo các nhánh sau:
Lý thuyết xác suất là một nhánh của lý thuyết bằng chứng khi khung bằng chứng bao gồm các tập bằng chứng là các tập con đơn phân biệt hay là tập con đơn biệt của tập tổng hay gọi là tập bằng chứng đơn.
Lý thuyết khả năng là một nhánh của lý thuyết bằng chứng khi các tập con mang bằng chứng của khung bằng chứng lồng vào nhau gọi là các tập bằng chứng lồng ghép , các độ đo mờ của lý thuyết bằng chứng hay các độ đo bằng chứng là mức tin Bl và mức khả tín Pl lần lượt trở thành các độ đo mờ tương ứng của lý thuyết khả năng hay các độ đo khả năng là mức nhất thiết Nec và mức khả năng Pos.
TLTK Nguyễn Như Phong. Vận trù mờ. NXBĐHQG. 2010.
|
|||||||||||||||||||||||||||
(*)
