TOÁN TỬ SỐ HỌC MỜ  

Nguyễn Như Phong

Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp

Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM

Các toán tử số học mờ  là các toán tử số học được thực hiện trên các số mờ. Như các toán tử số học, các toán tử số học mờ bao gồm cộng (+), trừ (-), nhân (´) và chia (/). Để thực hiện các toán tử số học mờ ta thường dùng hai phương pháp sau:

          - Nguyên lý mở rộng

          - Số học khoảng

1.  PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ MỞ RỘNG

Số học mờ dựa trên nguyên lý mở rộng là sự mở rộng các toán tử số học trên các số thực thành các toán tử số học trên các số mờ. Gọi chung các toán tử số học là *:

                   * Î{+, -, ´, /}

Gọi A và B là hai số mờ, nguyên lý mở rộng xây dựng tập mờ A*B là tập mờ có hàm thành viên như sau:

                   m_A*B(z) = sup_z=x*y min [m_A(x), m_B(y)], z Î R

Một cách cụ thể cho từng toán tử số học mờ:

                   m_A+B(z) = sup_z=x+y min [m_A(x), m_B(y)], z Î R

                   m_A-B(z) = sup_z=x-y min [m_A(x), m_B(y)], z Î R

                   m_A´B(z) = sup_z=x´y min [m_A(x), m_B(y)], z Î R

                   m_A/B(z) = sup_z=x/y min [m_A(x), m_B(y)], zÎ R

Có thể chứng minh được rằng nếu A và B là các số mờ liên tục thì tập mờ
C = A*B xác định theo nguyên lý mở rộng nêu trên cũng là một số mờ liên tục.

Nếu A và B là hai số mờ tam giác và c là một số thực dương:

                   A = (a₁, a₂, a₃)

       B = (b₁, b₂, b₃)

       c Î R⁺

Thì A+B cũng là một số mờ tam giác định bởi:

                   A + B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

Và cA cũng là một số mờ tam giác định bởi:

                   cA =  (ca₁, ca₂, ca₃ )

Nếu A và B là hai số mờ hình thang và c là một hằng số thực:

                   A = (a₁, a₂, a₃, a₄  )

       B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

       c Î R

Thì A+B cũng là một số mờ hình thang định bởi:

                   A+B =  (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃ , a₄+b₄ )

Thì A-B cũng là một số mờ hình thang định bởi:

                   A-B =  (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃+b₃ , a₄+b₄ )

Và cA cũng là một số mờ tam giác định bởi:

       cA = (ca₁, ca₂, ca₃, ca₄), nếu c Î R⁺

                   cA = (ca₁, ca₂, -ca₃, -ca₄), nếu cÎ R^-

2.  PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH KHOẢNG

Số mờ cũng như mọi tập mờ, hoàn toàn xác định bởi các tập cắt là những khoảng đóng, phân tích khoảng mờ xây dựng các toán tử số học mờ dựa vào các tập cắt là những khoảng rõ và các toán tử số học khoảng rõ. Trước khi khảo sát phân tích khoảng mờ, ta xem lại phân tích khoảng cổ điển.

a. Phân tích khoảng

Một khoảng I bao gồm hai tham số cận dưới a và cận trên b được ký hiệu:

                   I = [a,b] , a £ b

Các toán tử số học khoảng là các toán tử số học cộng (+), trừ (-), nhân (´) và chia (/) được thực hiện trên các khoảng. Gọi A và B là hai khoảng:

                   A = [a₁, a₂]

                   B = [b₁, b₂]

Cộng hai khoảng A và B cũng là một khoảng được ký hiệu là A+B với định nghĩa như sau:

                   A+B = [a₁, a₂] + [b₁, b₂] = [a₁+b₁, a₂+b₂]

Trừ hai khoảng A và B cũng là một khoảng được ký hiệu là A-B với định nghĩa như sau:

                   A-B = [a₁, a₂] – [b₁, b₂] = [a₁–b₂ , a₂ –b₁]

Nhân hai khoảng A và B cũng là một khoảng được ký hiệu là A´B với định nghĩa như sau:

A´B = [a₁,a₂]´[b₁,b₂] = [min(a₁b₁,a₁b₂, a₂b₁,a₂b₂), max(a₁b₁, a₁b₂, a₂b₁,a₂b₂)]

Nếu a₁,a₂,b₁,b₂ ³ 0 thì 

                   [a₁,a₂]´[b₁,b₂] = [a₁b₁,a₂b₂]

Chia hai khoảng A và B, khi khoảng B không chứa 0, cũng là một khoảng được ký hiệu là A/B được xác định qua phép nhân khoảng như sau:

                   A/B = [a₁,a₂] / [b₁,b₂] = [a₁,a₂]´[1/b₂,1/b₁]

Nếu a₁,a₂,b₁,b₂ > 0 thì 

       [a₁,a₂]/ [b₁,b₂] = [a₁/b₂, a₂/b₁]

Với 0 là khoảng [0,0] và 1 là khoảng [1,1], các toán tử số học trên các khoảng kín thỏa các tính chất sau:

• Giao hoán:           A+B = B+A, A´B = B´A
• Kết hợp:              (A+B)+C=A+(B+C), (A´B)´C = A´(B´C)
• Đồng nhất:           A = 0 + A, A = 1´A
• Thấp phân bố:     A´(B+C) Í A´B + A´C
• Phân bố:              bc³0,"bÎB,"cÎC Þ A´(B+C) = A´B + A´C

                                      bc³0,"bÎB,"cÎC, A=[a,a] Þ a´(B+C) = a´B + a´C

• Tính chất:            0ÎA-A, 1ÎA/A
• Đơn điệu:            AÍE, BÍF Þ A*B ÍE*F, Với * Î{+,-,´,/}

Ngoài các toán tử số học nêu trên, các toán tử cực trị cũng hay thường dùng. Cực tiểu hai khoảng A và B cũng là một khoảng được được xác định như sau:

                   min(A,B) = min ([a₁,a₂], [b₁,b₂]) = [ min (a₁,b₁), min(a₂,b₂)]

Cực đại hai khoảng A và B cũng là một khoảng được được xác định như sau:

                   max(A,B) = max ([a₁,a₂], [b₁,b₂]) = [ max(a₁,b₁), max(a₂,b₂)]

So sánh 2 khoảng A và B được định nghĩa như sau:

                   A £ B Û [a₁,a₂] £ [b₁,b₂] Û a₁ £ b₁ và a₂ £ b₂

b. Toán tử số học mờ theo phân tích khoảng

Xem hai số mờ A và B. Gọi * là một toán tử số học (+,-,´, /). Tập mờ trên tập số thực R, A*B, được xác định bởi các tập cắt (A*B)_a định bởi:

                   (A*B)_a = A_a* B_a

Vậy tập cắt (A*B)_a có thể xác định được từ các tập cắt A_a và B_a theo các phép phân tích khoảng nêu ở phần trên. Khi đã có được các tập cắt (A*B)_a, tập mờ A*B có thể xác định theo phép phân tích đã khảo sát ở phần trên như sau:

                   A*B = È_aÎ[0,1] a(A*B)_a

Hay hàm thành viên của tập mờ A*B có thể xác định được như sau:

                   m_A*B(x) = Max_aÎ[0,1] a(A*B)_a(x)

Ví dụ: Xem hai tập mờ tam giác A(1,2,2) và B(3,2,2) với hàm thành viên như sau:

Các tập cắt với aÎ[0,1]:

                   A_a = [2a–1, 3–2a]

                   B_a = [2a+1, 5–2a]

Tổng 2 số mờ A và B:

          (A+B)_a =  [2a–1, 3–2a] + [2a+1, 5–2a] =  [4a, 8–4a]

Tổng A+B cũng là số mờ hình thang với hàm thành viên:

Hiệu hai số mờ A và B:

                   (A–B)_a =  [2a–1, 3–2a] – [2a+1, 5–2a] = [4a–6, 2–4a]

Hiệu A-B cũng là số mờ hình thang với hàm thành viên:

Tích hai số mờ A và B:

Tích AB cũng là số mờ nhưng không hình thang với hàm thành viên:

Thương hai số mờ A và B:

Thương A/B cũng là số mờ nhưng không hình thang với hàm thành viên:

TLTK

Nguyễn Như Phong. Vận trù mờ. NXBĐHQG. 2010.