TOÁN TỬ TẬP MỜ

Nguyễn Như Phong

Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp

Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM

Các loại toán tử tập mờ thường dùng bao gồm: toán tử bù, toán tử giao, toán tử hợp, toán tử tích hợp. Các toán tử trên được xây dựng qua các hàm tương ứng. Để ý rằng, không chỉ hàm thành viên của tập mờ mà các toán tử tập mờ cũng phụ thuộc vào ngữ cảnh.

a. TOÁN TỬ BÙ MỜ

Xem một tập mờ A trên tập X, tập mờ bù của A là tập mờ . Khi biết mức độ thành viên của một phần tử x lên A, làm sao suy được mức độ không là thành viên của phần tử x lên A hay mức độ thành viên của phần tử x lên  hay làm sao suy được hàm thành viên m_{`A</sub>(x) từ hàm thành viên m<sub>A</sub>(x). Theo phép bù chuẩn, ta suy ra m<sub>`A}(x) từ m_A(x) như sau :

                   m_`A(x) = 1 –  m_A(x), x Î X

Một cách tổng quát để tìm m_`A(x) từ m_A(x), ta dùng hàm bù c:         

                   c : [0,1] à [0,1]

Từ phép bù kinh điển, hàm bù thoả các tiền đề

1. Điều kiện biên:    c(0) = 1 , c(1) = 0

2. Đơn điệu:             a £ b à c(a) ³ c(b), "a,bÎ[0,1]

3. Hàm liên tục

4. Cuộn xoắn :         c(c(a)) = a, "aÎ[0,1]

Khi đã xây dựng hàm bù c, hàmm_`A(x) có thể suy từ hàm m_A(x) qua hàm bù như sau:

                   m_`A(x) = c(m_A(x))

Hàm bù thường dùng là hàm bù chuẩn:        

                   c_s(a) = 1 – a

Một số hàm bù khác như sau:

• Hàm ngưỡng:

• Hàm bù Cosin:            C(a) = (1 + cospa)/2
• Hàm bù Sugeno:

b. TOÁN TỬ GIAO MỜ

Xem các tập mờ A và B trên tập tổng X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu AÇB. Khi biết mức độ thành viên của một phần tử x lên A cũng như B, làm sao suy được mức độ thành viên của phần tử x lên tập giao C=AÇB. Nói cách khác làm sao suy được hàm thành viên m_C(x) từ các hàm thành viên m_A(x) và m_B(x). Theo phép giao chuẩn ta suy m_C(x) từ các hàm thành viên m_A(x) và m_B(x) như sau:

                   m_C(x) = min [m_A(x), m_B (x) ], x Î X

Một cách tổng quát để tìm m_C(x) từ m_A(x) và m_B(x), ta dùng hàm giao i là hàm hai ngôi trên tập cơ sở là khoảng đơn vị :

                   i: [0,1] ´ [0,1] à [0,1]

Hàm thành viên của tập giao m_C(x) có thể suy từ các hàm thành viên m_A(x) và m_B(x) từ hàm giao i:

                   m_C(x) = i (m_A(x), m_B(x) )

Hàm giao i thoả các tiền đề của một hàm giao kinh điển. Với a,b,c Î [0,1] các tiền đề như sau:

1. Điều kiện biên:   i(a,1)=a
2. Đơn điệu:            b£c Þ i(a,b)£i(a,c)
3. Giao hoán:          i(a,b)=i(b,a)
4. Kết hợp:             i(a,i(b,c)) = i(i(a,b),c)
5. Liên tục:             Hàm i liên tục
6. Thấp đẳng trị:     i(a,a) < a
7. Đơn điệu chặt :  a

Hàm giao thường dùng là hàm giao chuẩn:              

                   i_s(a,b) = min(a,b)

Một số hàm giao khác:

• Hàm giao tích đại số:            i(a,b) = ab
• Hàm Bounded difference:      i(a,b)= max(0,a+b-1)
• Hàm Drastic intersection:

c. TOÁN TỬ HỘI MỜ

Xem các tập mờ A và B trên tập tổng X, hội của A và B cũng là một tập mờ gọi là tập mờ hội ký hiệu là AÈB. Khi biết mức độ thành viên của một phần tử x lên A cũng như B, làm sao suy được mức độ thành viên của phần tử x lên tập mờ hội C=AÈB. Nói cách khác làm sao suy được hàm thành viên m_C(x) từ các hàm thành viên  m_A(x) và m_B(x). Theo phép hội chuẩn ta suy m_C(x) từ các hàm thành viên m_A(x) và m_B(x) như sau:

                   m_C(x) = max [m_A(x), m_B (x) ], x Î X

Một cách tổng quát để tìm m_C(x) từ m_A(x) và m_B(x), ta dùng hàm hội u là hàm hai ngôi trên tập cơ sở là khoảng đơn vị:

                   u: [0,1] ´ [0,1] à [0,1]

Hàm thành viên m_C(x) có thể suy từ các hàm m_A(x) và m_B(x) từ hàm hội u như sau:

                   m_C(x) = u(m_A(x), m_B(x) )

Hàm hội u thoả các tiền đề của một hàm hội kinh điển. Với a,b,c Î [0,1] các tiền đề như sau:

1. Biên:                u(a,0)=a
2. Đơn điệu:         b£c Þu(a,b)£u(a,c)
3. Giao hoán:       u(a,b)=u(b,a)
4. Kết hợp:          u(a,u(b,c)) = u(u(a,b),c)
5. Liên tục:          Hàm i liên tục
6. Quá đẳng trị:  u(a,a) > a
7. Đơn điệu chặt: a

Hàm hội thường dùng là hàm hội chuẩn:      

                   u_s(a,b) = max(a,b)

Một số hàm hội khác :

• Hàm hội tổng :      u(a,b) = min(1, a+b) 
• Hàm hội đại số :    u(a,b) = a+b-ab

e. TOÁN TỬ TÍCH HỢP

Toán tử tích hợp nhằm tích hợp nhiều tập mờ thành một tập mờ duy nhất. Một ví dụ là việc đánh giá kết quả một học sinh ở một học kỳ, mỗi học kỳ một học sinh học nhiều môn, mỗi môn được đánh giá bởi một điểm số, điểm số này có thể được mờ hoá bởi các tập mờ như giỏi, khá, trung bình, yếu, kém. Một toán tử tích hợp sẽ tích hợp các tập mờ của mỗi môn để có được tập mờ đơn cho đánh giá trung bình cả học kỳ của sinh viên này. Toán tử tích hợp cho n tập mờ định bởi hàm h sau:

                   h: [0,1]ⁿ  à [0,1]

Khi tích hợp n tập mờ A₁, A₂, … , A_n  trên tập tổng X bởi hàm tích hợp h, ta được tập mờ tích hợp A trên X với hàm thành viên định bởi:

                   m_A(x) = h (m_A1(x), m_A2(x), … ,  m_An(x) ), xÎX

Hàm tích hợp h thỏa các tiền đề sau :

          1. Biên:      h(0,0,…,0) = 0,  h(1,1,…,1) = 1

          2. Tăng đơn điệu:   

                            0£a_i £ b_i £ 1, iÎ N_n ® h(a₁, a₂,…,a_n)£ h(b₁, b₂,…,b_n )

          3. Liên tục:     h là hàm liên tục 

          4. Đối xứng:   h là hàm đối xứng với mọi biến số

          5. Đẳng trị:     h(a,a,…,a) = a, 0£a £ 1

Có thể chứng minh các hàm tích hợp h thỏa các tiền đề 2 và 5 cũng sẽ thỏa bất đẳng thức quan trọng sau:

Min(a₁, a₂, …, a_n) £ h (a₁, a₂, …, a_n)£Max (a₁, a₂, …, a_n), 0 £ a₁, a₂, …, a_n £ 1

Lớp hàm tích hợp thỏa bất đẳng thức trên là lớp hàm duy nhất thỏa tiền đề 5 và thường được gọi là hàm trung bình. Hàm trung bình tổng quát có dạng thức sau:

                   , a Î R , a¹0

Khi a tiến đến 0, ta có hàm trung bình hình học:

                   h₀ = Lim_aà0  h_a = (a₁…a_n)^1/n

Khi a tiến đến âm vô cùng, ta có hàm chận dưới

                   h_-¥ =  Lim_aà-¥  = Min (a₁, …, a_n)

Khi a tiến đến dương vô cùng, ta có hàm chận trên

                   h_+¥ =  Lim_aà+¥  = Max (a₁, …, a_n)

Khi a = –1, ta có hàm trung bình điều hòa:

Khi a = 1, ta có hàm trung bình số học:

Một lớp hàm tích hợp khác cũng có giới hạn từ hàm chận dưới và hàm chận trên là hàm trung bình trọng số h_w :         

TLTK

Nguyễn Như Phong. Vận trù mờ. NXBĐHQG. 2010.