LÝ THUYẾT TẬP MỜ

Nguyễn Như Phong

Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp

Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM

1.   HÀM THÀNH VIÊN TẬP MỜ

Hàm đặc tính của tập rõ là hàm lưỡng trị, gán trị 0 hay 1 cho một phần tử trong 1 tập tổng để phân biệt phần tử ấy là thành viên hay không phải thành viên của một tập hợp. Hàm đặc tính có thể được tổng quát hoá sao cho giá trị gán cho mỗi phần tử của tập tổng nằm trong một khoảng định trước, thường chọn là khoảng [0,1], giá trị này chỉ mức độ thành viên của phần tử lên tập hợp. Giá trị càng lớn chỉ mức độ thành viên càng cao. Khi giá trị gán đi từ 0 đến 1, phần tử chuyển từ không phải thành viên đến là thành viên của tập hợp. Hàm đặc tính như trên được gọi là hàm thành viên và tập trên được gọi là tập mờ.

Hàm thành viên của một tập mờ A trên tập tổng X được ký hiệu là m_A là ánh xạ từ X lên tập khoảng đơn vị:

                            m_A :  X à [0,1]

m_A(x) : mức độ thành viên của phần tử x của tập X lên tập mờ A

Như vậy một tập tổng X có chứa các tập rõ và các tập mờ. Các tập rõ là các tập có đường biên rõ, trong khi các tập mờ có đường biên mờ như hình sau. Các tập rõ của tập tổng X là các tập con của tập tập rõ của X, là Ã(X).  Các tập mờ của tập tổng X là các tập con của tập tập mờ của X mà ta gọi là tập Á(X).

Ví dụ: Xem X là tập số thực R. Xem tập mờ F là tập các số thực gần bằng rÎR:

                   F = {x | x » r , xÎR}

Hàm thành viên m_F (x) có thể xây dựng theo các yêu cầu sau:

                   - m_F(r) = 1,

                   - m_F(x) <1,  x ¹ r

                   - m_F đối xứng qua trục x = r : m_F(2+x) = m_F(2 – x), x Î R

                   - m_F đơn điệu giảm khi khoảng ç2 - xçtăng .

Có nhiều hàm thoả các điều kiện trên, trong đó có hàm tuyến tính m_F(x):

Trong đó p là tham số, p càng tăng thì bề rộng đồ thị hàm càng hẹp.

Việc chọn lựa hàm thành viên tùy thuộc ngữ cảnh, đây là vấn đề phức tạp và sẽ được phân tích ở phần sau.

2.  CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN CỦA TẬP MỜ

Các khái niệm và thuật ngữ cơ bản của tập mờ bao gồm tập cắt, tập mức, biên giới tập mờ, lỏi tập mờ, độ cao tập mờ, tập mờ lồi, cở tập mờ, mức tập con, khoảng cách Hamding, độ mờ.

1. Tập cắt

Xem một tập mờ F trên tập tổng X, với  aÎ[0, 1], tập cắt a  của tập mờ F là tập rõ F_a gồm các phần tử của X có mức thành viên lên F lớn hơn hay bằng a:

                            F_a = {x| m_F(x) ³ a}

Tập cắt F_a sẽ được gọi là tập cắt a mạnh của tập mờ F là tập rõ, ký hiệu F_a+ khi thay dấu ³ bởi dấu > trong định nghĩa tập cắt :

                            F_a+ ={x| m_F(x) > a}

2. Cận của tập cắt

Tập cắt F_a của tập mờ F  là một tập rõ với hai cận là cận dưới LF_a và cận trên UF_a :

                            F_a = [LF_a, UF_a] = {x| m_F(x) ³ a}

                            LF_a = inf F_a = Min {x| m_F(x) ³ a}

                            UF_a = sup F_a = Max {x| m_F(x) ³ a}

3. Tập mức

Tập mức L(F) của tập mờ F là tập mọi mức aÎ[0, 1] biễu diễn các nhát cắt của tập F:

                            L(F) = {açm_F(x) = a , xÎX }

4. Biên giới tập mờ

Biên giới tập mờ F, supp(F), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức thành viên lên F lớn hơn 0 , đây cũng chính là tập cắt F₀₊ :

                            supp(F) = F₀₊ ={x| m_F(x) >0}

5. Lõi tập mờ

Lỏi tập mờ F, core(F), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức thành viên lên F bằng 1. , đây cũng chính là tập cắt F₁ :

                            Core(F) = F₁ ={x| m_F(x) =1}

6. Độ cao tập mờ

Độ cao tập mờ F, ký hiệu là, h(F) là mức thành viên cao nhất của các phần tử của tập F:

Tập mờ với độ cao bằng 1 là tập mờ chuẩn :

                            h(F) =1

7. Cở tập mờ 

Cở tập mờ F, ký hiệu ½F½, định bởi:

Cở tập mờ đếm số phần tử trong tập với trọng số là mức độ thành viên của phần tử.

8. Tập mờ lồi

Khi X là tập số thực R, tập F trên X được gọi là tập mờ lồi  nếu và chỉ nếu hàm thành viên m_F(x) thoả điều kiện sau:

          m_F(lx₁ + (1- l) x₂ ) ³ min [m_F(x₁), m_F(x₂) ], "x₁, x₂ Î R , "lÎ[0,1].

Biễu thức trên có nghĩa là đoạn thẳng nối 2 điểm trên đường cong thành viên luôn nằm dưới đoạn cong của đường cong thành viên nối giữa 2 điểm này. Mặt khác, tập mờ F được gọi là tập mờ lồi khi mọi tập cắt của F là những tập rõ lồi.

1. Mức tập con

Xem hai tập mờ A và B, mức tập con của tập A trong tập B, ký hiệu S(A,B) định bởi  công thức sau:

                   S(A,B) = ½AÇB½/½A½

10. Khoảng cách Hamding

Khoảng cách Hamding giữa hai tập mờ A và B trên tập tổng X, ký hiệu d(A,B), nếu tập tổng X rời rạc,  khoảng các Hamding xác định bởi :

Nếu tập tổng X liên tục,  khoảng các Hamding xác định bởi :

11. Độ mờ

Độ mờ của một tập mờ F, ký hiệu là dof(F) được xác định theo Kaufmann (1975) là khoảng cách Hamding giữa tập mờ F và tập rõ F_c gần với tập mờ F nhất:

                            dof(F) = d(F, F_c)

Hàm thành viên của F_c định bởi:

TLTK

Nguyễn Như Phong. Vận trù mờ. NXBĐHQG. 2010.