Home Page TOOLS Probability & Statistic KIỂM ĐỊNH KỲ VỌNG
KIỂM ĐỊNH KỲ VỌNG

KIỂM ĐỊNH KỲ VỌNG

Nguyễn Như Phong

Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp

Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM

 

  1. KIỂM ĐỊNH KỲ VỌNG

 

Xem Xi, i=1¸n là mẫu lấy từ một biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng m, phươgn sai s2. Hàm thống kê kiểm định kỳ vọng là trung bình mẫu`X. Kiểm định kỳ vọng có giả thuyết ban đầu:

                   H0: m=m0

Tùy vào nghiên cứu, các đối thuyết có thể là:

  • H1: m ¹ m0
  • H1: m > m0
  • H1: m < m0

1.1. H1: m ¹ m0

Ta xác định vùng bác bỏ giả thuyết với 2 trườgn hợp biết và khôgn biết phươgn sai.

a. Khi biết phương sai

Nếu X có phân bố chuẩn họăc có phân bố bất kỳ với cở mẫu lớn, trung bình mẫu có phân bố chuẩn:

                    ~ N (m, s2/n)

Trung bình mẫu chuẩn hóa có phân bố chuẩn đơn vị:

                   ( - m) / (s/) ~ Z

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (s/) ~ Z

Với aÎ[0,1]:

                   P{( - m0)/(s/)<-Za/2, ( - m0) / (s/)>Za/2 } = a

             Þ   P{ < m0- Za/2 s/,  > m0+ Za/2 s/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   R = [ < m0 - Za/2 s/,  > m0+ Za/2 s/]

Ví dụ:

Để kiểm định kỳ vọng đặc tính chất lượng X cúa 1 sản phẩm có độ lệch chuẩn là 1,2, mẫu với 50 sản phẩm đựơc thu thập, giá trị trung bình mẫu của tính đựơc là 20,63. Với các giả thuyết:

          H0: m = 20

          H1: m ¹ 20

Với a =0,05, trị phân vị Za/2 = Z0,025 = 1,96. Vùng bác bỏ H0:

                   R = [ < 20–1,96*1,2/ ,   > 20–1,96*1,2/]

                   R = [ < 3,3688 ,   >36,6312]

Thấy rằng trung bình mẫu không rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 được chấp nhận. Kỳ vọng đặc tính bằng 20.

 

b. Không biết phương sai

Khi khôgn biết phươgn sai, ta xét 2 trường hợp với cở mẫu lớn và cở mẫu nhỏ.

          i. Cở mẫu lớn

Với cở mẫu lớn, trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu có phân bố chuẩn đơn vị:

                   ( - m) / (S/) ~ Z

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (S/) ~ Z

Với aÎ[0,1]:

                   P{( - m0)/(S/)<-Za/2, ( - m0) / (S/)>Za/2 } = a

            Þ   P{ < m0- Za/2 S/,  > m0+ Za/2 S/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   [ < m0 - Za/2 S/,  > m0+ Za/2 S/]

Ví dụ:

Để kiểm định kỳ vọng đặc tính chất lượng X cúa 1 sản phẩm, mẫu với 50 sản phẩm đựơc thu thập, giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu tính đựơc lần lượt là 20,63 và 1,44. Với các giả thuyết:

          H0: m = 20

          H1: m ¹ 20

Với a =0,05, trị phân vị Za/2 = Z0,025 = 1,96. Vùng bác bỏ H0:

                   R = [ < 20–1,96*1,44/ ,   > 20–1,96*1,44/]

                   R = [ < 0,0426 ,   >39,9574]

Thấy rằng trung bình mẫu không rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 được chấp nhận.

 

i. Cở mẫu nhỏ

Với cở mẫu nhỏ, trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu có phân bố Student:

                   ( - m) / (S/) ~ tn-1

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (S/) ~ tn-1

Với aÎ[0,1]:

                   P{( - m0)/(S/)<- ta/2,n-1, ( - m0) / (S/)> ta/2,n-1 } = a

            Þ   P{ < m0- ta/2,n-1S/,  > m0+ ta/2,n-1S/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   [ < m0 - ta/2,n-1S/,  > m0+ ta/2,n-1S/]

 

Ví dụ:

Để kiểm định kỳ vọng đặc tính chất lượng X cúa 1 sản phẩm, mẫu với 10 sản phẩm đựơc thu thập, giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu tính đựơc lần lượt là 30,63 và 0,95. Với các giả thuyết:

          H0: m = 20

          H1: m ¹ 20

Với a =0,05, và dof = 9, trị phân vị ta/2, n-1 = t0,025, 9 = 2,262. Vùng bác bỏ H0:

                   R = [ < 20–2,262*0,95/ ,   > 20–2,262*0,95/]

                   R = [ < 9,6996 ,   >30,3004]

Thấy rằng trung bình mẫu rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 bị bác bỏ. Kỳ vọng đặc tính khác 20. 

 

1.2. H1: m < m0

Ta xác định vùng bác bỏ giả thuyết với 2 trườgn hợp biết và khôgn biết phươgn sai.

a. Khi biết phươgn sai

Nếu X có phân bố chuẩn họăc có phân bố bất kỳ với cở mẫu lớn, trung bình mẫu chuẩn hóa có phân bố chuẩn đơn vị:

                   ( - m) / (s/) ~ Z

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (s/) ~ Z

Với aÎ[0,1]:

                   P{ ( - m0)/(s/) < -Za} = a

            Þ   P{ < m0 - Zas/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   [ < m0 - Zas/]

Ví dụ:

Để kiểm định kỳ vọng đặc tính chất lượng X cúa 1 sản phẩm có độ lệch chuẩn là 1,2, mẫu với 50 sản phẩm đựơc thu thập, giá trị trung bình mẫu của tính đựơc là 20,63. Với các giả thuyết:

          H0: m = 20

          H1: m < 20

Với a =0,05, trị phân vị Za = Z0,05 = 1,645. Vùng bác bỏ H0:

                   R = [ < 20–1,645*1,2/]

                        R = [ < 6,041712]

Thấy rằng trung bình mẫu không rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 được chấp nhận. Kỳ vọng đặc tính chất lượng không nhỏ hơn 20.

 

b. Không biết phươgn sai

Khi khôgn biết phươgn sai, ta xét 2 trường hợp với cở mẫu lớn và cở mẫu nhỏ.

          i. Cở mẫu lớn

Với cở mẫu lớn, trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu có phân bố chuẩn đơn vị:

                   ( - m) / (S/) ~ Z

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (S/) ~ Z

Với aÎ[0,1]:

                   P{( - m0)/(S/)<-Za} = a

            Þ   P{ < m0- Za S/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   [ < m0 - Za S/]

          ii. Cở mẫu nhỏ

Với cở mẫu nhỏ, trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu có phân bố Student:

                   ( - m) / (S/) ~ tn-1

Với aÎ[0,1]:

                   P{ ( - m0)/(S/) < -ta,n-1} = a

            Þ   P{ < m0 - ta,n-1 S/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   R = [ < m0 - ta,n-1S/]

 

1.3. H1:m > m0

Ta xác định vùng bác bỏ giả thuyết với 2 trườgn hợp biết và khôgn biết phươgn sai.

a. Khi biết phươgn sai

Nếu X có phân bố chuẩn họăc có phân bố bất kỳ với cở mẫu lớn, trung bình mẫu chuẩn hóa có phân bố chuẩn đơn vị:

                   ( - m) / (s/) ~ Z

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (s/) ~ Z

Với aÎ[0,1]:

                   P{ ( - m0)/(s/) > Za} = a

            Þ   P{ > m0 + Zas/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   R = [ > m0 + Zas/]

Ví dụ:

Để kiểm định kỳ vọng đặc tính chất lượng X cúa 1 sản phẩm có độ lệch chuẩn là 1,2, mẫu với 50 sản phẩm đựơc thu thập, giá trị trung bình mẫu của tính đựơc là 34,45. Với các giả thuyết:

          H0: m = 20

          H1: m > 20

Với a =0,05, trị phân vị Za = Z0,05 = 1,645. Vùng bác bỏ H0:

                   R = [ > 20+1,645*1,2/]

                        R = [ > 33,95829]

Thấy rằng trung bình mẫu rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 bị bác bỏ. Kỳ vọng đặc tính chất lượng lớn hơn 20.

b. Không biết phươgn sai

Khi khôgn biết phươgn sai, ta xét 2 trường hợp với cở mẫu lớn và cở mẫu nhỏ.

          i. Cở mẫu lớn

Với cở mẫu lớn, trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu có phân bố chuẩn đơn vị:

                   ( - m) / (S/) ~ Z

Nếu H0 đúng:

                   ( - m0) / (S/) ~ Z

Với aÎ[0,1]:

                   P{( - m0)/(S/)>Za} = a

            Þ   P{ > m0+ Za S/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   [ > m0 + Za S/]

          ii. Cở mẫu nhỏ

Với cở mẫu nhỏ, trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu có phân bố Student:

                   ( - m) / (S/) ~ tn-1

Với aÎ[0,1]:

                   P{ ( - m0)/(S/) > ta,n-1} = a

            Þ   P{ > m0+ta,n-1 S/} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

                   R = [ > m0+ta,n-1S/]

 

  1. KIỂM ĐỊNH ĐỘ LỆCH KỲ VỌNG

 

Xem 2 đám đông có đặc tính quan tâm lần lượt X1 và X2, là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng lần lượt là m1và m2, phương sai lần lựợt là s12 và s12. Để kiểm định kỳ vọng, hàm thống kê sử dụng là độ lệch trung bình mẫu `X1 - `X2.

Kiểm định độ lệch kỳ vọng có giả thuyết ban đầu:

                   H0: m1 = m2

Tùy vào nghiên cứu, các đối thuyết có thể là:

  • H1: m1 ¹ m2
  • H1: m1 > m2
  • H1: m1 < m2

2.1. H1: m1 ¹ m2

a. Khi biết phương sai.

Khi biết phươgn sai, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa có phân bố chuẩn đơn vị:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-Za/2 ,  > Za/2 } = a

            P{, } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [`X1 - `X2 <-Za/2 , `X1 - `X2 > Za/2 ]

Khi phươgn sai bằng nhau, s12 = s22 =s2:

            R = [`X1 - `X2 <- Za/2 s, `X1 - `X2 > Za/2 s]

 

b. Không biết phương sai.

Khi không biết phươgn sai, ta xét 2 trường hợp cở mẫu nhỏ và cở mẫu lớn

i. Cở mẫu lớn

Với cở mẫu lớn, hàm thống kê độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo các độ lệch chuẩn mẫu. có phân bố chuẩn đơn vị:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-Za/2 ,  > Za/2 } = a

            P{, } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [,]

 

ii. Cở mẫu nhỏ

Với cở mẫu nhỏ, khi phương sai khác nhau, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo các độ lệch chuẩn mẫu có phân bố Student như sau:

           

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-ta/2,v ,  > ta/2,v } = a

            P{, } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [,]

 

Khi phương sai bằng nhau, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu chung có phân bố Student như sau:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-ta/2,v ,  > ta/2,v } = a

            P{, } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [,]

Ví dụ:

Để kiểm định độ lệch kỳ vọng của đặc tính chất lượng của 1 sản phẩm được sản xuất trên 2 máy khác nhau, mẫu được thu thập từ 2 máy. Từ các mẫu thu thập, ta xác định trung bình mẫu và phươgn sai mẫu như ở bảng sau.

 

Máy 1

Máy 2

Cở mẫu

10

12

Trung bình mẫu

26,38

25,42

Phương sai mẫu

3,45

3,06

 

Độ lệch trung bình mẫu:

            D =`X1 - `X2 = 26,38 - 25,42 = 0,96

Giả sử phươgn sai 2 máy như nhau, ước lượng bởi phươgn sai mẫu chung:

=1,7987

 

Với các giả thuyết:

          H0: m1 = m2

          H1: m1 ¹ m2

Với a =0,05, v = 10+12-2 = 20, tra bảng đựơc giá trị điểm phân vị:

ta/2,v = 2,086

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [D<-2,086*1,7987, D>2,086*1,7987]

            R = [D1,6065]

Thấy rằng độ lệch trung bình mẫu không rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 không bị bác bỏ. Kỳ vọng đặc tính chất lượgn sản phẩm ở 2 máy là bằng nhau.

 

2.2. H1: m1 < m2

a. Khi biết phương sai.

Khi biết phươgn sai, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa có phân bố chuẩn đơn vị:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-Za } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [`X1 - `X2 <-Za]

Khi phươgn sai bằng nhau, s12 = s22 =s2:

            R = [`X1 - `X2 <- Zas]

b. Không biết phương sai.

Khi không biết phươgn sai, ta xét 2 trường hợp cở mẫu nhỏ và cở mẫu lớn

i. Cở mẫu lớn

Với cở mẫu lớn, hàm thống kê độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo các độ lệch chuẩn mẫu. có phân bố chuẩn đơn vị:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-Za } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

Ví dụ:

Để kiểm định độ lệch kỳ vọng của đặc tính chất lượng của 1 sản phẩm được sản xuất trên 2 máy khác nhau, mẫu được thu thập từ 2 máy. Từ các mẫu thu thập, ta xác định trung bình mẫu và phươgn sai mẫu như ở bảng sau.

 

Máy 1

Máy 2

Cở mẫu

50

60

Trung bình mẫu

26,38

25,42

Phương sai mẫu

3,45

3,06

Độ lệch trung bình mẫu:

            D =`X1 - `X2 = 26,38 - 25,42 = 0,96

Với các giả thuyết:

          H0: m1 = m2

          H1: m1 < m2

Với a =0,05, trị phân vị Za = Z0,005 = 1,645. Vùng bác bỏ H0:

                   R = [D < -1,645]

                        R = [D < -0.5698]

Thấy rằng độ lệch trung bình mẫu không rơi vào vùng bác bỏ R nên H0 không bị bác bỏ. Kỳ vọng đặc tính chất lượgn sản phẩm ở máy 1 không nhỏ hơn kỳ vọng đặc tính chất lượgn sản phẩm ở  máy 2.

 

ii. Cở mẫu nhỏ

Với cở mẫu nhỏ, khi phương sai khác nhau, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo các độ lệch chuẩn mẫu có phân bố Student như sau:

           

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-ta,v } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

 

Khi phương sai bằng nhau, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu chung có phân bố Student như sau:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{<-ta,v } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

 

2.3. H1: m1 > m2

a. Khi biết phương sai.

Khi biết phươgn sai, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa có phân bố chuẩn đơn vị:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{>Za } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [`X1 - `X2 > Za]

Khi phươgn sai bằng nhau, s12 = s22 =s2:

            R = [`X1 - `X2 >  Zas]

b. Không biết phương sai.

Khi không biết phươgn sai, ta xét 2 trường hợp cở mẫu nhỏ và cở mẫu lớn

i. Cở mẫu lớn

Với cở mẫu lớn, hàm thống kê độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo các độ lệch chuẩn mẫu. có phân bố chuẩn đơn vị:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{> Za } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

 

ii. Cở mẫu nhỏ

Với cở mẫu nhỏ, khi phương sai khác nhau, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo các độ lệch chuẩn mẫu có phân bố Student như sau:

           

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{> ta,v } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

 

Khi phương sai bằng nhau, độ lệch trung bình mẫu chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn mẫu chung có phân bố Student như sau:

Nếu H0 đúng:

         

Với aÎ[0,1]:

            P{> ta,v } = a

            P{} = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

 

  1. KIỂM ĐỊNH ĐỘ LỆCH KỲ VỌNG THEO CẶP

 

Xem 2 đám đông phụ thuộc được lấy mẫu theo cặp , có kỳ vọng lần lượt là m1và m2. Độ lệch trung bình mẫu theo cặp chuẩn hóa có phân bố là phân bố Student với n-1 bậc tự do:

           

Kiểm định độ lệch kỳ vọng theo cặp có giả thuyết ban đầu:

                   H0: m1 = m2

Tùy vào nghiên cứu, các đối thuyết có thể là:

  • H1: m1 ¹ m2
  • H1: m1 > m2
  • H1: m1 < m2

a. H1: m1 ¹ m2

Nếu H0 đúng:

           

Với aÎ[0,1]:

            P{<-ta/2,n-1 , > ta/2,n-1 } = a

            Þ   P{ , } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = [,]

b. H1: m1 < m2

Nếu H0 đúng:

           

Với aÎ[0,1]:

            P{<-ta,n-1 } = a

            Þ   P{  } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

c. H1: m1 > m2

Nếu H0 đúng:

           

Với aÎ[0,1]:

            P{> ta,n-1 } = a

            Þ   P{  } = a

Vùng bác bỏ giả thuyết H0:

            R = []

 

 

TLTK:

Nguyễn Như Phong. Thống kê trong CN. NXBĐHQG. 2013. ISBN: 978-604-73-1998-5.

 

 

 
  • thiet ke noi that chung cu

  • thiet ke noi that chung cu

  • thiet ke noi that chung cu

  • thiet ke noi that chung cu

ABOUT US

ADMIN


GOOD BROWSERS

 
   

STATISTIC

mod_vvisit_countermod_vvisit_countermod_vvisit_countermod_vvisit_countermod_vvisit_countermod_vvisit_countermod_vvisit_counter
mod_vvisit_counterH�m nay30
mod_vvisit_counterH�m qua132
mod_vvisit_counterTu?n n�y440
mod_vvisit_counterTh�ng n�y642
mod_vvisit_counterT?t c?742261
Hiện có 17 khách Trực tuyến