RA QUYẾT ĐỊNH MỜ BAYES TRẠNG THÁI MỜ

Nguyễn Như Phong

Kỹ thuật Hệ thống Công nghiệp

Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM

Mô hình ra quyết định Bayes có thể mở rộng theo hướng trạng thái mờ, phương án mờ như ở mô hình sau.

Tanaka et al 1976 mở rộng phương pháp Bayes với trạng thái mờ và phương án mờ. Tập các trạng thái rõ S với m trạng thái rõ mÎN₀:

                   S = {s_i , iÎN_m}

Tập các trạng thái mờ FS bao gồm p tập mờ trên S , pÎN₀:

                   FS = {S_s , sÎN_p}

Tập các phương án rõ A gồm m phương án nÎN₀:

                   A = {a_j , jÎN_n}

Tập các phương án mờ FA bao gồm q tập mờ trên A, qÎN₀:

                   FA = {A_a , aÎN_q}

Nhằm tiếp diễn phương pháp Bayes, hàm thành viên các tập mờ trạng thái thỏa điều kiện trực giao:

Ma trận tiện ích:

                   U = [u_sa], sÎN_p, a Î N_q

Tiện ích kỳ vọng với phương án A_a:

Trong đó xác suất trạng thái mờ S_s định bởi:

Tiện ích kỳ vọng cực đại:

Tập thông tin cơ sở X với r thông tin, rk Î N₀:

                   X = {x_k , kÎN_r}

Tập thông tin mờ F  bao gồm g tập mờ trên X, g Î N₀:

                   F = {M_l , l Î N_g}

Xác suất trạng thái mờ với thông tin rõ:

Xác suất trạng thái mờ với thông tin mờ:

Tiện ích kỳ vọng với phương án A_a với thông tin x_k:

Tiện ích kỳ vọng cực đại với phương án A_a với thông tin x_k:

Tiện ích kỳ vọng với phương án A_a với thông tin mờ M_l:

Tiện ích kỳ vọng cực đại với phương án A_a với thông tin M_l:

Tiện ích kỳ vọng với thông tin X:

                  
Tiện ích kỳ vọng với thông tin mờ F:

                  
Giá trị thông tin mờ:

Với thông tin mờ hoàn chỉnh ta có:

                   u(A_aïS_s) = u(A_a , S_s)

Suy ra:      

Tiện ích kỳ vọng cực đại với thông tin mờ hoàn chỉnh:

Giá trị thông tin mờ hoàn chỉnh:

Tanaka et al [1976] đã chứng minh quan hệ giữa các giá trị thông tin như ở bất đẳng thức sau:

                   V(f_p) ³ V(x_p) ³ V(x) ³ V(f) ³ 0

Ví dụ: Xem vấn đề chọn lựa loại mạch in PCB cần cho một máy tính mới. Dựa vào mật độ đường dẫn hay mật độ linh kiện ta có thể dùng mạch in 1, 2, 4 hay 6 lớp. Mật độ càng cao cần mạch in càng nhiều lớp. Một phép đo mật độ đường dẫn là số nút, là vị trí trên mạch in mà các đường dẫn gặp nhau.

Mật độ tương đối so với mật độ cực đại bao gồm sáu trạng thái sau:
s₁ : 20%,     s₂ : 40%,  s₃ : 60%,  s₄ : 80%,  s₅ : 100%,                            

Các trạng thái mờ là ba tập mờ trên S bao gồm:

          S₁ =  mật độ thấp,                                                                          

          S₂ = mật độ trung bình,                                                                 

          S₃ = mật độ cao

Các phương án rõ về số lớp mạch in cho thiết kế mới bao gồm:

          a₁ : 1 lớp,   a₂ : 2 lớp,  a₃ : 4 lớp,  a₄ : 6 lớp

Các phương án mờ về số lớp mạch in cho thiết kế mới bao gồm:

          A₁ : 2 lớp, A₂ : 4 lớp,   A₃ : 6 lớp                                                   

Các thông tin là các mẫu dữ kiện của tập X bao gồm các thông tin về số nút :

          x₁ : 100 nút,  x₂ : 200 nút,  x₃ : 300 nút,  x₄ : 400 nút,  x₅ : 500 nút.

Tập mờ mật độ F bao gồm:

          M₁ : mật độ thấp ( nhỏ hơn 300 nút)

          M₂ : mật độ vừa ( khoảng 300 nút)

          M₃ : mật độ cao ( lớn hơn 300 nút)

Các tiền xác suất trạng thái như sau:

          p(s₁) = 0,2 p(s₂) = 0,3  p(s₃) = 0,3  p(s₄) = 0,1  p(s₅) = 0,1

Các giá trị tiện ích cho ở bảng sau:

Các giá trị thành viên cho các tập mờ trạng thái như ở bảng sau:

Các giá trị thành viên cho các tập mờ thông tin như ở bảng sau:

Xác suất có điều kiện với thông tin không hoàn chỉnh tính được ở bảng sau:

Xác suất có điều kiện với thông tin hoàn chỉnh tính được ở bảng sau:

Các dữ kiện trên đã đủ để tính các giá trị thông tin trong quá trình RQĐ với cả trạng thái, thông tin, phương án mờ.

Trường hợp 1: Phương án và trạng thái rõ

a. Khi không có thông tin, tiện ích kỳ vọng với các phương án tính được:

          E(a₁) = 10*0,2 + 8*0,3 + … + 2*0,1 = 6,4                                   

Tương tự:

          E(a₂) = 6,3 E(a₃) = 4,4   

Vậy tiện ích kỳ vọng cực đại là E(u*) = 6,4 ứng với phương án chọn lựa là a₁.

b. Với thông tin không hoàn chỉnh bảng sau là các kết quả tính được:

Vậy tiện ích kỳ vọng cực đại với thông tin x₁ là E(u*ïx₁) = 8,42 ứng với phương án chọn lựa là a₁. Tiện ích kỳ vọng cực đại với thông tin X là:

E(u_x*) =

(0,205)(8,423)+(0,252)(7,47)+(0,245)(6,68)+(0,183)(6,66)+(0,115)(7,67)= 7,37

Giá trị thông tin không hoàn chỉnh:

V(x) = E(u_x*) – E(u*) = 7,37 – 6,4 = 0,97

c. Với thông tin hoàn chỉnh bảng sau là các kết quả tính được:

Tiện ích kỳ vọng với thông tin hoàn chỉnh là:

          E(u_xp*) = 0,2*10+0,3*8+0,3*9+0,1*8+0,1*10 = 8,9

Giá trị thông tin hoàn chỉnh:

          V(x_p) = E(u_xp*) – E(u*) = 8,9 – 6,4 = 2,5

Trường hợp 2: Phương án và trạng thái mờ

a. Khi không có thông tin, xác suất trạng thái mờ tính được:

p(S₁) = 1*0,2 + 0,5*0,3 + 0*0,3 + 0*0,1 + 0*0,1 = 0,35           

Tương tự:

p(S₂) = 0,5                 p(S₃) = 0,15

Tiện ích kỳ vọng với các phương án mờ tính được:

E(A₁) = 10*0,35 + 3*0,5 + 0*0,15 = 5                                       

Tương tự:

E(A₂) = 6,8           E(A₃) = 5,35

Vậy tiện ích kỳ vọng cực đại là E(u*) = 6,8 ứng với phương án chọn lựa là A₂.

b. Với thông tin không hoàn chỉnh bảng sau là các kết quả xác suất trạng thái mờ với thông tin rõ p(S_sïx_k) tính được:

Bảng sau là các kết quả tiện ích kỳ vọng với thông tin E(u_aïx_k) tính được:

Vậy tiện ích kỳ vọng cực đại với thông tin không hoàn chỉnh X là :

E(u_x*) =

= 7,315*0,205 + 6.534*0,252 + 7.143*0,245 + 7.431*0,183 + 8.252*0,115

= 7,202

Giá trị thông tin không hoàn chỉnh với trạng thái mờ là:

          V(x) = E(u_x*) – E(u*) = 7,202 – 6,8 = 0,402

c. Với thông tin hoàn chỉnh bảng sau là các kết quả p(S_sïx_k) tính được:

Bảng sau là các kết quả E(u_aïx_k) tính được:

Vậy tiện ích kỳ vọng không điều kiện cực đại là:

          E(u_xp*) =  10*0,2 + 6,5*0,3 + 9*0,3 + 8,5*0,1 + 10*0,1 = 8,5

Giá trị thông tin không hoàn chỉnh với trạng thái mờ là:

          V(x_p) = E(u_xp*) – E(u*) = 8,5 – 6,8 = 1,7

d. Với thông tin mờ xác suất trạng thái mờ theo thông tin mờ tính được  theo công thức:

p(S₁ïM₁) =

= [1*1*0,44*0,2+1*0,4*0,35*0,2+0,5*1*0,26*0,3+0,5*0,4*0,32*0,3] / [1*0,205 + 0,4*0,252 ]

= 0,57

Bảng sau là các kết quả tính được:

Tiện ích kỳ vọng trạng thái mờ với thông tin mờ E(u_aïM_l) tính được ở bảng sau:

Xác suất thông tin mờ:

          p(M₁) = 1*0,205 + 0,4*0,252 = 0,306

Tương tự:

          p(M₂) = 0,506,      p(M₃) = 0,188.

Vậy tiện ích kỳ vọng không điều kiện cực đại là:

          E(u_F*) = 6,392*0,306 + 7,354* 0,506 + 7,740*0,188 =  7,128

Giá trị thông tin không hoàn chỉnh với trạng thái mờ là:

          V(x_p) = E(u_F*)  - E(u*) =  7,128-6,8 =  0,328

e. Với thông tin mờ hoàn chỉnh bảng sau là các kết quả tính được u(A_aïS_s) với các trạng thái mờ và phương án mờ khác nhau:

Vậy tiện ích kỳ vọng không điều kiện cực đại là:

          E(u_Fp*) = 10*0,35 + 9*0,5 + 10*0,15 = 9,5

Giá trị thông tin không hoàn chỉnh với trạng thái mờ là:

          V(F_p) = E(u_Fp*) – E(u*) = 9,5 – 6,8 = 2,7

Nhằm so sánh các dạng thông tin ta tích hợp thành bảng so sánh tổng hợp sau:

TLTK

Nguyễn Như Phong. Vận trù mờ. NXBĐHQG. 2010.